Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» - сложность 3-4 с решениями

Окружность<i>S</i>и точка<i>O</i>лежат в одной плоскости, причём<i>O</i>находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность<i>S</i>, и опишем конус с вершиной в точке<i>O</i>и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.

<i>k</i>человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь, равно<i>k</i>+$\left[\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right.$${\frac{k+3}{4}}$$\left.\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right]$, где значок [<i>a</i>] означает наибольшее целое число, не превосходящее<i>a</i>.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их общей части была наибольшей?