Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» для 2-11 класса - сложность 2-5 с решениями
10 класс, 1 тур
НазадИзвестно, что<i>Z</i><sub>1</sub>+ ... +<i>Z</i><sub>n</sub>= 0, где<i>Z</i><sub>k</sub>— комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна120<sup><tt>o</tt></sup>.
Окружность<i>S</i>и точка<i>O</i>лежат в одной плоскости, причём<i>O</i>находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность<i>S</i>, и опишем конус с вершиной в точке<i>O</i>и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.
<i>k</i>человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь, равно<i>k</i>+$\left[\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right.$${\frac{k+3}{4}}$$\left.\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right]$, где значок [<i>a</i>] означает наибольшее целое число, не превосходящее<i>a</i>.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.
На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их общей части была наибольшей?
Дана последовательность чисел <i>F</i><sub>1</sub>, <i>F</i><sub>2</sub>, ...; <i>F</i><sub>1</sub> = <i>F</i><sub>2</sub> = 1 и <i>F</i><sub><i>n</i>+2</sub> = <i>F<sub>n</sub> + F</i><sub><i>n</i>+1</sub>. Доказать, что <i>F</i><sub>5<i>k</i></sub> делится на 5 при <i>k</i> = 1, 2, ... .