Олимпиадные задачи из источника «1959 год» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Даны<i>n</i>комплексных чисел<i>C</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>2</sub>,...,<i>C</i><sub>n</sub>, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника. Доказать, что если комплексное число<i>z</i>обладает тем свойством, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0, </div>то точка плоскости, соответствующая<i>z</i>, лежит внутри этого<i>n</i>-угольника.
В углах шахматной доски 3 на 3 стоят кони: в верхних углах — белые, в нижних — чёрные. Доказать, что для того, чтобы им поменяться местами, потребуется не менее 16 ходов. (Кони не обязательно ходят сначала белый, потом чёрный. Ходом считается ход одного коня.)
<i>n</i>отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2<i>n</i>-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2<i>n</i>-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.
Даны сто чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>,..., <i>x</i><sub>100</sub>, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей <i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub> – <i>x<sub>k</sub></i> меньше <sup>1</sup>/<sub>50</sub> каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.