Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 2-9 класса

Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках<i>O</i>₁и<i>O</i>₂. Пусть<i>a</i>₁и<i>a</i>₂— внутренние касательные к этим окружностям,<i>a</i>₃и<i>a</i>₄— внешние касательные к ним. Пусть, далее,<i>a</i>₅и<i>a</i>₆— касательные к окружности с центром в<i>O</i>₁, проведённые из точки<i>O</i>₂,<i>a</i>₇и<i>a</i>₈— касательные к окружности с центром в точке<i>O&lt...

Дан выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>. Середины сторон<i>AB</i>и<i>CD</i>обозначим соответственно через<i>K</i>и<i>M</i>, точку пересечения<i>AM</i>и<i>DK</i>— через<i>O</i>, точку пересечения<i>BM</i>и<i>CK</i>— через<i>P</i>. Доказать, что площадь четырёхугольника<i>MOKP</i>равна сумме площадей треугольников<i>BPC</i>и<i>AOD</i>.

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью2 -$\sqrt{2}$и$\sqrt{2}$, перелить из одной в другую ровно 1 литр?

Как должна двигаться ладья по шахматной доске, чтобы побывать на каждом поле по одному разу и сделать наименьшее число поворотов?