Олимпиадные задачи из источника «1958 год» - сложность 4-5 с решениями
В школе изучают 2<i>n</i> предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78166/problem_78166_img_2.gif"> .
(Мы считаем, что ученик <i>p</i> учится лучше ученика <i>q</i>, если у <i>p</i> оценки по всем предметам не ниже, чем у <i>q</i>, а по некоторым предметам – выше.)
Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника равна<i>S</i>. Доказать, что<i>S</i>$\ge$10.