Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
10 класс, 2 тур
НазадНа продолжениях сторон <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub>A</i><sub>1</sub> правильного <i>n</i>-угольника (<i>n</i> ≥ 5) <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> построить точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, ..., <i>B<sub>n</sub></i> так, чтобы <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> было перпендикулярно к <i>A</i><sub>1<...
Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.
Подряд выписаны<i>n</i>чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.
Взяли три числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>. Вычислили абсолютные величины попарных разностей<i>x</i><sub>1</sub> = |<i>x</i> - <i>y</i>|,<i>y</i><sub>1</sub>= |<i>y</i>-<i>z</i>|,<i>z</i><sub>1</sub>= |<i>z</i>-<i>x</i>|. Тем же способом по числам<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>,<i>z</i><sub>1</sub>построили числа<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>,<i>z</i><sub>2</sub>и т.д. Оказалось, что при некотором<i>n</i><i>x</i><sub>n<...