Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 8-9 класса - сложность 1-5 с решениями

Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.

Дан равносторонний$\Delta$<i>ABC</i>. На сторонах<i>AB</i>и<i>BC</i>взяты точки<i>D</i>и<i>E</i>так, что<i>AE</i>=<i>CD</i>. Найти геометрическое место точек пересечения отрезков<i>AE</i>и<i>CD</i>.

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Из вершины <i>B</i> прямого угла проведена медиана <i>BD</i>. Пусть <i>K</i> – точка касания стороны <i>AD</i> треугольника <i>ABD</i> с вписанной окружностью этого треугольника. Найти острые углы треугольника <i>ABC</i>, если <i>K</i> делит <i>AD</i> пополам.

Числа 1, 2, ..., 49 расположены в квадратную таблицу <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78024/problem_78024_img_2.gif"></div>Произвольное число из таблицы выписывается, после чего из таблицы вычёркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей и т.д., всего 7 раз. Найти сумму выписанных чисел.

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  <i>n</i>² + <i>n</i> + 1  делится на 1955?