Олимпиадные задачи из источника «1951 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Все рёбра треугольной пирамиды равны<i>a</i>. Найти наибольшую площадь, которую может иметь ортогональная проекция этой пирамиды на плоскость.
Даны три параллельные прямые на равных расстояниях друг от друга. Как надо изображать точками соответствующих прямых величины сопротивления, напряжения и силы тока в проводнике, чтобы, прикладывая линейку к точкам, изображающим значения сопротивления<i>R</i>и значения силы тока<i>I</i>, получить на шкале напряжения точку, изображающую величину напряжения<i>V</i>=<i>I</i><sup> . </sup><i>R</i>(точка каждой шкалы изображает одно и только одно число).
Имеются две концентрические окружности. Вокруг меньшей из них описан многоугольник, целиком находящийся внутри большей окружности. Из общего центра на стороны многоугольника опущены перпендикуляры, которые продолжены до пересечения с большей окружностью; каждая из полученных точек пересечения соединена с концами соответствующей стороны многоугольника. При каком условии построенный так звёздчатый многоугольник будет развёрткой пирамиды?
Докажите, что первые три цифры частного <img width="230" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77924/problem_77924_img_2.gif"> суть 0,239.
Из всех выпуклых многоугольников, у которых одна сторона равна<i>a</i>и сумма внешних углов при вершинах, не прилегающих к этой стороне, равна120<sup><tt>o</tt></sup>, выбрать многоугольник наибольшей площади.