Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 1 тур» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Имеется кусок цепи из 60 звеньев, каждое из которых весит 1 г. Какое наименьшее число звеньев надо расковать, чтобы из образовавшихся частей можно было составить все веса в 1 г, 2 г, 3 г, ..., 60 г (раскованное звено весит тоже 1 г)?

Точка внутри равнобокой трапеции соединяется со всеми вершинами. Доказать, что из четырёх полученных отрезков можно сложить четырёхугольник, вписанный (Разрешается, чтобы вершины четырёхугольника лежали не только на сторонах трапеции, но и на их продолжениях — прим. ред.) в эту трапецию.

Что больше   <img width="252" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77920/problem_77920_img_2.gif">   или <img width="252" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77920/problem_77920_img_3.gif">?

У выпуклых четырёхугольников<i>ABCD</i>и<i>A'B'C'D'</i>соответственные стороны равны.

Доказать, что если$\angle$<i>A</i>>$\angle$<i>A'</i>, то$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>B'</i>,$\angle$<i>C</i>>$\angle$<i>C'</i>и$\angle$<i>D</i><$\angle$<i>D'</i>.

Докажите, что многочлен  <i>x</i>¹² – <i>x</i>⁹ + <i>x</i>⁴ – <i>x</i> + 1  при всех значениях <i>x</i> положителен.