Олимпиадные задачи из источника «1949 год» - сложность 2 с решениями

Сложить из одинаковых кирпичиков (см. рис.) выпуклый многогранник. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/77896/problem_77896_img_2.gif"></div>

Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

12 полей расположены по кругу: на четырёх соседних полях стоят четыре разноцветных фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя.

Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?

Как расположены плоскости симметрии ограниченного тела, если оно имеет две оси вращения? (Осью вращения тела называется прямая, после поворота вокруг которой на любой угол тело совмещается само с собой.)

Дана плоская замкнутая ломаная периметра 1. Доказать, что можно начертить круг радиусом${\frac{1}{4}}$, покрывающий всю ломаную.

Доказать, что равенство  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>  для целых <i>x, y</i> и <i>z</i> возможно только при  <i>x = y = z</i> = 0.

Показать, что  27195⁸ – 10887⁸ + 10152⁸  делится на 26460.