Олимпиадные задачи из источника «1945 год» для 10 класса

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна60^<tt>o</tt>.

Некоторые из чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,...<i>a</i>_nравны +1, остальные равны -1. Доказать, что<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT">2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$<i>a</i>₁ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi...

Решить в целых числах уравнение  <i>xy</i> + 3<i>x</i> – 5<i>y</i> = – 3.

Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>движется по плоскости так, что его вершины<i>B</i>и<i>C</i>скользят по сторонам данного прямого угла. Доказать, что множеством точек<i>A</i>является отрезок и найти его длину.

Система уравнений второго порядка

   <i>x</i>² – <i>y</i>² = 0,

   (<i>x – a</i>)² + <i>y</i>² = 1

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях <i>a</i> число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Найти трёхзначное число, всякая целая степень которого оканчивается на три цифры, составляющие исходное число (в том же порядке).

Разделить  <i>a</i>^{2^<i>k</i>} – <i>b</i>^{2^<i>k</i>}  на  (<i>a + b</i>)(<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴)...(<i>a</i>^{2^<i>k</i>–1} + <i>b</i>^{2^<i>k</i>–1}).