Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 2 тур» для 4-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Построить треугольник<i>ABC</i>по трем точкам<i>H</i>₁,<i>H</i>₂и<i>H</i>₃, которые являются симметричными отражениями точки пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон.

Доказать, что квадрат любого простого числа  <i>p</i> > 3  при делении на 12 даёт в остатке 1.

Найти целое число <i>a</i>, при котором  (<i>x</i> – <i>a</i>)(<i>x</i> – 10) + 1  разлагается в произведение  (<i>x</i> + <i>b</i>)(<i>x</i> + <i>c</i>)  двух множителей с целыми <i>b</i> и <i>c</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник <i>ABC</i>.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Точка <i>M</i>, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне<i>BC</i>до пересечения со стороной<i>CA</i>, затем параллельно<i>AB</i>до пересечения с <i>BC</i>, затем параллельно<i>AC</i>до пересечения с <i>AB</i>и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.