Олимпиадные задачи из источника «9,10 класс, 2 тур» - сложность 1-3 с решениями
9,10 класс, 2 тур
НазадСколько существует натуральных чисел <i>x</i>, меньших 10000, для которых 2<i><sup>x</sup> – x</i>² делится на 7?
Доказать неравенство <img align="middle" src="/storage/problem-media/76477/problem_76477_img_2.gif">   (<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> – положительные числа).
Центр<i>O</i>описанной около треугольника<i>ABC</i>окружности отражается симметрично относительно каждой из сторон. По трём полученным точкам<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>3</sub>восстановить треугольник<i>ABC</i>, если все остальное стёрто.
Что больше: 300! или 100<sup>300</sup>?
На бесконечном конусе, угол развёртки которого равен$\alpha$, взята точка. Из это точки в обе стороны проводится линия так, что после развёртки она превращается в отрезки прямых. Определить число её самопересечений.