Олимпиадные задачи из источника «2 тур» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

Дана правильная пирамида. Из произвольной точки<i>P</i>её основания восставлен перпендикуляр к плоскости основания. Доказать, что сумма отрезков от точки<i>P</i>до точек пересечения перпендикуляра с плоскостями граней пирамиды не зависит от выбора точки<i>P</i>на основании.

Даны два многочлена от переменной <i>x</i> с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной <i>x</i> с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.