Олимпиадные задачи из источника «1993 год» - сложность 2-4 с решениями

Гулливер попал в страну лилипутов, имея 7000000 рублей. На все деньги он сразу купил кефир в бутылках по цене 7 рублей за бутылку (пустая бутылка стоила в то время 1 рубль). Выпив весь кефир, он сдал бутылки и на все вырученные деньги сразу купил кефир. При этом он заметил, что и стоимость кефира, и стоимость пустой бутылки выросли в два раза. Затем он снова выпил весь кефир, сдал бутылки, на все вырученные деньги снова купил кефир и т. д. При этом между каждыми двумя посещениями магазина и стоимость кефира, и стоимость пустой бутылки возрастали в два раза. Сколько бутылок кефира выпил Гулливер?

Решите уравнение:<div align="CENTER"> 1993 = 1 + 8 : (1 + 8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : <i>x</i>))))). </div>

Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i>, что

  а)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 1993;

  б)  <i>x</i>³ – <i>y</i>³ = 1993;

  в)  <i>x</i>⁴ – <i>y</i>⁴ = 1993?

Можно ли в центры 16 клеток шахматной доски 8×8 вбить гвозди так, чтобы никакие три гвоздя не лежали на одной прямой?

В спортклубе тренируются 100 толстяков весом от 1 до 100 кг. На какое наименьшее число команд их можно разделить так, чтобы ни в одной команде не было двух толстяков, один из которых весит вдвое больше другого?

Али-Баба стоит с большим мешком монет в углу пустой прямоугольной пещеры размером <i>m×n</i> клеток, раскрашенных в шахматном порядке. Из любой клетки он может сделать шаг в любую из четырёх соседних клеток (вверх, вниз, вправо или влево). При этом он должен либо положить одну монету в этой клетке, либо забрать из неё одну монету, если, конечно, она не пуста. Может ли после прогулки Али-Бабы по пещере оказаться, что на чёрных клетках лежит ровно по одной монете, а на белых монет нет?

Если у числа<i>x</i>подсчитать сумму цифр и с полученным числом повторить это ещё два раза, то получится ещё три числа. Найдите самое маленькое<i>x</i>, для которого все четыре числа различны, а последнее из них равно 2.

Как из семи ''уголков'', каждый из которых склеен из трёх кубиков1×1×1, и шести отдельных кубиков1×1×1 составить большой куб3×3×3? Можно ли это сделать так, чтобы все отдельные кубики оказались в серединах граней большого куба?