Олимпиадная задача: 1993 как разность степеней — многочлены и делимость, 7 класс
Задача
Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что
а) x² – y² = 1993;
б) x³ – y³ = 1993;
в) x4 – y4 = 1993?
Решение
а) (x – y)(x + y) = 1993. Учитывая, что число 1993 простое, получаем x – y = 1, x + y = 1993. Отсюда x = 997, y = 996. б) (x – y)(x² + xy + y²) = 1993, откуда x – y = 1, x² + xy + y² = (x – y)² + 3xy = 1993. Следовательно, xy = 664 = 2³·83. Решений нет. в) (x² – y²)(x² + y²) = 1993, откуда x² – y² = 1, x² + y² = 1993. Из а) следует, что x² = 997, y² = 996. Решений нет.
Ответ
а) Существуют; б)-в) не существуют.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет