Олимпиадные задачи из источника «Чётность-1» - сложность 2 с решениями

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.

Могут ли они вращаться?

На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет чётную длину (сторона клетки имеет длину 1).

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.

Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно обеих главных диагоналей.

Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Можно ли нарисовать девятизвенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?