Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2»

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.

Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

В выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>, у которого углы при вершинах <i>B</i> и <i>D</i> – прямые, вписан четырёхугольник с периметром <i>P</i> (его вершины лежат по одной на сторонах четырёхугольника <i>ABCD</i>).

  а) Докажите неравенство  <i>P</i> ≥ 2<i>BD</i>.

  б) В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого <i>n</i> включительно:   12345678910111213...(<i>n</i>). Существует ли такое <i>n</i>, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

Через <i>S</i>(<i>n</i>) обозначим сумму цифр числа <i>n</i> (в десятичной записи).

Существуют ли три таких различных натуральных числа <i>m, n</i> и <i>p</i>, что   <i>m + S</i>(<i>m</i>) = <i>n+S</i>(<i>n</i>) = <i>p + S</i>(<i>p</i>)?

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом <i>A</i> первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше <i>A</i> и при этом стоят правее <i>A</i>. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.

  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).

  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Три шахматиста <i>A, B</i> и <i>C</i> сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков <i>A</i> занял первое место, <i>C</i> – последнее, а по числу побед, наоборот, <i>A</i> занял последнее место, <i>C</i> – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше

  а) 15;

  б) 20?

  в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат <i>n×n</i> клеток получиться больше чем ^<i>n</i>²/₄ частей (для  <i>n</i> > 8)?

Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников). Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.