Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2» для 8 класса

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.

Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

В выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>, у которого углы при вершинах <i>B</i> и <i>D</i> – прямые, вписан четырёхугольник с периметром <i>P</i> (его вершины лежат по одной на сторонах четырёхугольника <i>ABCD</i>).

  а) Докажите неравенство  <i>P</i> ≥ 2<i>BD</i>.

  б) В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого <i>n</i> включительно:   12345678910111213...(<i>n</i>). Существует ли такое <i>n</i>, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

Через <i>S</i>(<i>n</i>) обозначим сумму цифр числа <i>n</i> (в десятичной записи).

Существуют ли три таких различных натуральных числа <i>m, n</i> и <i>p</i>, что   <i>m + S</i>(<i>m</i>) = <i>n+S</i>(<i>n</i>) = <i>p + S</i>(<i>p</i>)?

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом <i>A</i> первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше <i>A</i> и при этом стоят правее <i>A</i>. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.

  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).

  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Три шахматиста <i>A, B</i> и <i>C</i> сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков <i>A</i> занял первое место, <i>C</i> – последнее, а по числу побед, наоборот, <i>A</i> занял последнее место, <i>C</i> – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?