Олимпиадные задачи из источника «1987 год» - сложность 2 с решениями
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).
Через <i>n</i>!! обозначается произведение <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)... до единицы (или до двойки): например, 8!! = 8·6·4·2; 9!! = 9·7·5·3·1.
Докажите, что 1985!! + 1986!! делится на 1987.
Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведёнными из вершин <i>B</i> и <i>C</i>, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
На плоскости даны прямая <i>l</i> и две точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от неё. На прямой <i>l</i> выбраны точка <i>M</i>, сумма расстояний от которой до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая, и точка <i>N</i>, для которой <i>AN = BN</i>. Докажите, что точки <i>A, B, M, N</i> лежат на одной окружности.