Задача
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведёнными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
Решение
Решение 1: Для определённости будем считать, что AB > AC. Пусть BB1 и CC1 – высоты, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности.
Поскольку ∠COB = ∠CHB = 120°, то точки C, H, O и B лежат на одной окружности. Поэтому ∠OHB = ∠OCB = ∠OBC = 30° = ½ ∠BHC1. Следовательно, луч HO – биссектриса угла BHC1.
Решение 2: H и O – противоположные вершины параллелограмма, образованного высотами BB1 и CC1 и серединными перпендикулярами к сторонам AB и AC. Расстояние между последним и высотой BB1 равно ½ |AC – AB| (поскольку AB1 = ½ AB). Тому же равно расстояние между другими двумя сторонами параллелограмма. Значит, этот параллелограмм – ромб. Поэтому его диагональ – биссектриса угла между сторонами.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь