Олимпиадные задачи из источника «1981 год» - сложность 2 с решениями

Доказать, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичная запись (каждого из) которых состоит из цифр 0 и 7.

<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

2<i>m</i>-значное число назовём справедливым, если его чётные разряды содержат столько же чётных цифр, сколько и нечётные. Докажите, что в любом (2<i>m</i>+1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2<i>m</i>-значное число было справедливым. Пример для числа 12345 показан на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73628/problem_73628_img_2.gif"></div>

Четырехугольник <i>ABCD</i>, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром <i>O</i>.

Докажите, что ломаная <i>AOC</i> делит его на две равновеликие части.