Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?
Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73613/problem_73613_img_2.gif"> где <i>x</i> и <i>y</i> – целые неотрицательные числа. Докажите это.
Многочлен <i>p</i> и число <i>a</i> таковы, что для любого числа <i>x</i> верно равенство <i>p</i>(<i>x</i>) = <i>p</i>(<i>a – x</i>).
Докажите, что <i>p</i>(<i>x</i>) можно представить в виде многочлена от (<i>x</i> – <sup><i>a</i></sup>/<sub>2</sub>)².
На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы
а) ровно 4 клетки? б) ровно 5 клеток? в) все 8 клеток?
Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что 2<sup><i>b</i></sup> – 1 делится на <i>a</i>.