Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сумма длин диагоналей четырехугольника» - сложность 2-5 с решениями

Пусть дан выпуклый (2<i>n</i>+ 1)-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₃<i>A</i>₅...<i>A</i>_{2n + 1}<i>A</i>₂...<i>A</i>_2n. Докажите, что среди всех замкнутых ломаных с вершинами в его вершинах наибольшую длину имеет ломаная <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A</i>_{2n + 1}<i>A</i>₁.

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.

На плоскости даны <i>n</i>красных и <i>n</i>синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести <i>n</i>отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей <i>d</i>расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей <i>d'</i>. Докажите, что <i>d'</i>< 2<i>d</i>.

Пусть <i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник, причем <i>AB</i>+<i>BD</i>$\leq$<i>AC</i>+<i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i><<i>AC</i>.

Пусть <i>ABCD</i> – выпуклый четырехугольник. Докажите, что  <i>AB</i> + <i>CD</i> < <i>AC</i> + <i>BD</i>.