Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Медиана треугольника» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Точки <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nне лежат на одной прямой. Пусть две разные точки <i>P</i>и <i>Q</i>обладают тем свойством, что <i>A</i>₁<i>P</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>P</i>=<i>A</i>₁<i>Q</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>Q</i>=<i>s</i>. Докажите, что тогда <i>A</i>₁<i>K</i>+ ... +<i>A</i>_n<i>K</i><<i>s</i>для некоторой точки <i>K</i>.

Даны <i>n</i>точек <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nи окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку <i>M</i>так, что <i>MA</i>₁+ ... +<i>MA</i>_n$\geq$<i>n</i>.

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.