Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Построения» для 4-8 класса - сложность 3-5 с решениями

Дан отрезок <i>OA</i>, параллельный прямой <i>l</i>. С помощью прямого угла постройте точки, в которых окружность радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>пересекает прямую <i>l</i>.

Даны отрезок <i>AB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>O</i>на ней. С помощью прямого угла постройте на прямой <i>l</i>такую точку <i>X</i>, что <i>OX</i>=<i>AB</i>.

Даны угол <i>AOB</i>и прямая <i>l</i>. С помощью прямого угла проведите прямую <i>l</i>₁так, что угол между прямыми <i>l</i>и <i>l</i>₁равен углу <i>AOB</i>.

Даны отрезки <i>O</i>₁<i>A</i>₁и <i>O</i>₂<i>A</i>₂. С помощью одной двусторонней линейки постройте радикальную ось окружностей радиуса <i>O</i>₁<i>A</i>₁и <i>O</i>₂<i>A</i>₂с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂соответственно.

Даны прямая <i>l</i>и отрезок <i>OA</i>, параллельный <i>l</i>. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>OA</i>с центром <i>O</i>.

Даны отрезок <i>AB</i>, непараллельная ему прямая <i>l</i>и точка <i>M</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки постройте точки пересечения прямой <i>l</i>с окружностью радиуса <i>AB</i>с центром <i>M</i>.

Даны угол <i>AOB</i>, прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>на ней. С помощью одной двусторонней линейки проведите через точку <i>P</i>прямые, образующие с прямой <i>l</i>угол, равный углу <i>AOB</i>.

Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность <i>S</i>и ее центр <i>O</i>, то с помощью одной линейки можно: а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр; б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку; в) построить отрезок длиной <i>ab</i>/<i>c</i>, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины данных отрезков; г) построить точки пересечения данной прямой <i>l</i>с окружностью, центр которой — данная точка <i>A</i>, а радиус равен длине данного отрезка; д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.

Даны окружность, ее диаметр <i>AB</i>и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>перпендикуляр к прямой <i>AB</i>.

Даны две параллельные прямые и точка <i>P</i>. С помощью одной линейки проведите через точку <i>P</i>прямую, параллельную данным прямым.

Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите отрезок, лежащий на одной из них, на <i>n</i>равных частей.

Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.

Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки разделите пополам отрезок, лежащий на одной из данных прямых.

На окружности радиуса <i>a</i>дана точка. С помощью монеты радиуса<i>a</i>постройте точку, диаметрально противоположную данной.

Даны точки <i>A</i>и <i>B</i>, расстояние между которыми больше 1 м. С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см, постройте отрезок <i>AB</i>. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)

С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.

На клочке бумаги нарисованы две прямые, образующие угол, вершина которого лежит вне этого клочка. С помощью циркуля и линейки проведите ту часть биссектрисы угла, которая лежит на клочке бумаги.

Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>на нем. Постройте на этой окружности точки <i>X</i>и <i>Y</i>, симметричные относительно прямой <i>AB</i>, так, чтобы прямые <i>AX</i>и <i>YC</i>были перпендикулярными.

Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.

Постройте правильный десятиугольник.

На прямой даны четыре точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>в указанном порядке. Постройте точку <i>M</i>, из которой отрезки <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>видны под равными углами.

Постройте окружность, касательные к которой, проведенные из трех данных точек <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, имели бы длины <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>соответственно.

Даны три точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Даны две точки<i>A</i>и<i>B</i>и окружность. Найти на окружности точку<i>X</i>так, чтобы прямые<i>AX</i>и<i>BX</i>отсекли на окружности хорду<i>CD</i>, параллельную данной прямой<i>MN</i>.

Постройте окружность, равноудалённую от четырёх данных точек.