Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Четырехугольники» для 10 класса - сложность 4 с решениями

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Четырехугольник <i>ABCD</i>выпуклый; точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁таковы, что <i>AB</i>||<i>C</i>₁<i>D</i>₁,<i>AC</i>||<i>B</i>₁<i>D</i>₁и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁тоже выпуклый, причем $\angle$<i>A</i>+$\angle$<i>C</i><sub>1<...

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.