Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» - сложность 1-2 с решениями

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  ∠<i>A</i> = 45°,  то <i>B</i>₁<i>C</i>₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника <i>ABC</i>.

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника <i>ABC</i>, подобен треугольнику <i>ABC</i>.

Каким соотношением связаны длины сторон треугольника <i>ABC</i>?

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i>. Пусть <i>O, O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABC, ABD</i> и <i>ACD</i>.

Докажите, что <i>OO</i>₁ = <i>OO</i>₂.

Вписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i> касается гипотенузы <i>AB</i> в точке <i>P, CH</i> – высота треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ACH</i> лежит на перпендикуляре, опущенном из точки <i>P</i> на <i>AC</i>.

Докажите, что если отрезок<i>B</i>₁<i>C</i>₁антипараллелен стороне<i>BC</i>, то<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\bot$<i>OA</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности.

Отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁, где точки <i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на лучах <i>AC</i>и <i>AB</i>, называют<i>антипараллельным</i>стороне <i>BC</i>, если $\angle$<i>AB</i>₁<i>C</i>₁=$\angle$<i>ABC</i>и $\angle$<i>AC</i>₁<i>B</i>₁=$\angle$<i>ACB</i>. Докажите, что симедиана <i>AS</i>делит пополам любой отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁, антипараллельный стороне <i>BC&lt...

Выразите длину симедианы <i>AS</i>через длины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Прямые <i>AM</i>и <i>AN</i>симметричны относительно биссектрисы угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>(точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на прямой <i>BC</i>). Докажите, что <i>BM</i>^.<i>BN</i>/(<i>CM</i>^.<i>CN</i>) =<i>c</i>²/<i>b</i>². В частности, если <i>AS</i> — симедиана, то <i>BS</i>/<i>CS</i>=<i>c</i>²/<i>b</i>².

Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁- основания перпендикуляров, опущенных из точки<i>P</i>на прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>. Треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁называют<i>подерным</i>(или<i>педальным</i>) треугольником точки<i>P</i>относительно треугольника<i>ABC</i>. Пусть <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ — подерный треугольник точки <i>P</i>относительно треугольника <...

На сторонах правильного треугольника <i>ABC</i> как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  <i>A</i>₁<i>BC, AB</i>₁<i>C</i> и <i>ABC</i>₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые <i>BC</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i> пересекаются в точке <i>A</i>₂, <i>AC</i>₁ и <i>A</i>₁<i>C</i> – в точке <i>B</i>₂, <i>AB</i>₁ и <i>A</i><sub>1<...

В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>AB</i> больше стороны <i>BC</i>. Пусть <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ – середины сторон <i>BC</i> и <i>AC</i>, а <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами <i>AC</i> и <i>AB</i>. Докажите, что отрезки <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂ пересекаются в точке <i>X</i>, лежащей на биссектрисе угла <i>B</i>.

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

б) Пусть <i>H</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, <i>R</i> – радиус описанной окружности. Докажите, что  <i>AH</i>² + <i>BC</i>² = 4<i>R</i>²  и  <i>AH = BC</i> |ctg α|.

Через точку <i>O</i> пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i> проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная <i>AB</i>, пересекает <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а прямые, параллельные <i>AC</i> и <i>BC</i>, пересекают <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что  <i>MN = AM + BN</i>  и периметр треугольника <i>OPQ</i> равен длине отрезка <i>AB</i>.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>O</i> и построены точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, симметричные <i>O</i> относительно середин сторон <i>BC, CA</i> и <i>AB</i>. Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ равны и прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.

Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

Длины сторон треугольника — последовательные целые числа. Найдите эти числа, если известно, что одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис.

В треугольнике<i>ABC</i>проведены биссектрисы<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>ABB</i>₁и<i>ACC</i>₁пересекаются в точке, лежащей на стороне<i>BC</i>, то$\angle$<i>A</i>= 60^<tt>o</tt>.

В треугольнике <i>ABC</i>с углом <i>A</i>, равным 120^<tt>o</tt>, биссектрисы <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что $\angle$<i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>O</i>= 30^<tt>o</tt>.

В треугольник <i>ABC</i>вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁. Докажите, что если треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁подобны, то треугольник <i>ABC</i>правильный.

а) Докажите, что если <i>a</i>+<i>h</i>_a=<i>b</i>+<i>h</i>_b=<i>c</i>+<i>h</i>_c, то треугольник <i>ABC</i>правильный. б) В треугольник <i>ABC</i>вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне <i>AC</i>, у другого — на <i>BC</i>, у третьего — на <i>AB</i>. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник <i>ABC</i>правильный.

Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.

Точки <i>D</i>и <i>E</i>делят стороны <i>AC</i>и <i>AB</i>правильного треугольника <i>ABC</i>в отношениях <i>AD</i>:<i>DC</i>=<i>BE</i>:<i>EA</i>= 1 : 2. Прямые <i>BD</i>и <i>CE</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что $\angle$<i>AOC</i>= 90^<tt>o</tt>.

Из точки <i>M</i>, лежащей внутри правильного треугольника <i>ABC</i>, опущены перпендикуляры <i>MP</i>,<i>MQ</i>и <i>MR</i>на стороны <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>соответственно. Докажите, что <i>AP</i>²+<i>BQ</i>²+<i>CR</i>²=<i>PB</i>²+<i>QC</i>²+<i>RA</i>²и <i>AP</i>+<i>BQ</i>+<i>CR</i>=<i>PB</i>+<i>QC</i>+<i>RA</i>.