Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» для 11 класса - сложность 5 с решениями

Опустим из точки<i>M</i>перпендикуляры<i>MA</i>₁,<i>MB</i>₁и<i>MC</i>₁на прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>. Для фиксированного треугольника<i>ABC</i>множество точек<i>M</i>, для которых угол Брокара треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника<i>ABC</i>, а другая вне ее (<i>окружности Схоуте</i>).

Докажите, что для угла Брокара$\varphi$выполняются следующие неравенства: а)$\varphi^{3}{}$$\le$($\alpha$-$\varphi$)($\beta$-$\varphi$)($\gamma$-$\varphi$); б)8$\varphi^{3}{}$$\le$$\alpha$$\beta$$\gamma$(<i>неравенство Йиффа</i>).

а) Докажите, что проекции точки <i>P</i>описанной окружности четырехугольника <i>ABCD</i>на прямые Симсона треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>BAC</i>лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника). б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного <i>n</i>-угольника как прямую, содержащую проекции точки <i>P</i>на прямые Симсона всех (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин <i>n</i>-угольника.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке <i>Q</i>.

Прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁,<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>AC</i>и <i>A</i>₁<i>C</i>₁лежат на одной прямой (Дезарг).

Медианы треугольника<i>ABC</i>разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.