Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Прямая Симсона» для 4-10 класса - сложность 1-4 с решениями
параграф 9. Прямая Симсона
НазадТочка <i>P</i>движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что при этом прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой <i>P</i>.
На окружности фиксированы точки <i>P</i>и <i>C</i>; точки <i>A</i>и <i>B</i>перемещаются по окружности так, что угол <i>ACB</i>остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки <i>P</i>относительно треугольников <i>ABC</i>касаются фиксированной окружности.
Пусть <i>A</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>1</sub> — проекции точки <i>P</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>на прямые <i>BC</i>и <i>AC</i>. Докажите, что длина отрезка <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>равна длине проекции отрезка <i>AB</i>на прямую <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>.
а) Из точки <i>P</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>опущены перпендикуляры <i>PA</i><sub>1</sub>и <i>PB</i><sub>1</sub>на прямые <i>BC</i>и <i>AC</i>. Докажите, что <i>PA</i><sup> . </sup><i>PA</i><sub>1</sub>= 2<i>Rd</i>, где <i>R</i> — радиус описанной окружности, <i>d</i> — расстояние от точки <i>P</i>до прямой <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>. б) Пусть $\alpha$ — угол между прямыми <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>и <i>BC</i>. Докажите, что cos$\alpha$=<i>PA&...
а) Из точки <i>P</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>проведены прямые <i>PA</i><sub>1</sub>,<i>PB</i><sub>1</sub>и <i>PC</i><sub>1</sub>под данным (ориентированным) углом $\alpha$к прямым <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>соответственно (точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>лежат на прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>). Докажите, что точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>лежат на одной прямой. б) Докажите, что пр...
В треугольнике <i>ABC</i>проведена биссектриса <i>AD</i>и из точки <i>D</i>опущены перпендикуляры <i>DB'</i>и <i>DC'</i>на прямые <i>AC</i>и <i>AB</i>; точка <i>M</i>лежит на прямой <i>B'C'</i>, причем <i>DM</i>$\perp$<i>BC</i>. Докажите, что точка <i>M</i>лежит на медиане <i>AA</i><sub>1</sub>.
Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой, точка <i>P</i> — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>ACP</i>и точка <i>P</i>лежат на одной окружности.
а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона</i>). б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки <i>P</i> на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника.