Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Площадь» - сложность 1 с решениями
глава 4. Площадь
НазадДиагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>AOB</sub>=<i>S</i><sub>COD</sub>тогда и только тогда, когда <i>BC</i>||<i>AD</i>.
Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.
Пусть <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>и <i>D</i><sub>1</sub> — середины сторон <i>CD</i>,<i>DA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>квадрата <i>ABCD</i>, площадь которого равна <i>S</i>. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>,<i>CC</i><sub>1</sub>и <i>DD</i><sub>1</sub>.
Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.
Многоугольник описан около окружности радиуса <i>r</i>. Докажите, что его площадь равна <i>pr</i>, где <i>p</i> — полупериметр многоугольника.
Пусть <i>E</i>и <i>F</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>AD</i>параллелограмма <i>ABCD</i>. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми <i>AE</i>,<i>ED</i>,<i>BF</i>и <i>FC</i>, если известно, что площадь <i>ABCD</i>равна <i>S</i>.
Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.