Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части» для 10-11 класса

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.

б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Прямая <i>l</i> делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную <i>l</i>, в отношении, не превосходящем  1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/56788/problem_56788_img_2.gif">.

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

Отрезок <i>MN</i>, параллельный стороне <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>, делит его площадь пополам (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>). Длины отрезков, проведенных из точек <i>A</i>и <i>B</i>параллельно <i>CD</i>до пересечения с прямыми <i>BC</i>и <i>AD</i>, равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что <i>MN</i>²= (<i>ab</i>+<i>c</i>²)/2, где <i>c</i>=<i>CD</i>.