Задача
Докажите, что при поворотеx'' =x'cosφ +y'sinφ, y'' = -x'sinφ +y'cosφ выражениеax'2+ 2bx'y' +cy'2переходит вa1x'2+ 2b1x''y'' +c1y'2, причёмa1c1-b12=ac-b2.
Решение
При решении задачи 31.002мы получили, что
| a1 | = a cos2$\displaystyle \varphi$ - 2b cos$\displaystyle \varphi$sin$\displaystyle \varphi$ + c sin2$\displaystyle \varphi$, | |
| b1 | = a cos$\displaystyle \varphi$sin$\displaystyle \varphi$ + b(cos2$\displaystyle \varphi$ - sin2$\displaystyle \varphi$) - c cos$\displaystyle \varphi$sin$\displaystyle \varphi$, | |
| c1 | = a sin2$\displaystyle \varphi$ + 2b cos$\displaystyle \varphi$sin$\displaystyle \varphi$ + c cos2$\displaystyle \varphi$. |
Поэтому
| a1c1 - b12 | = (a + c)sin2$\displaystyle \varphi$cos2$\displaystyle \varphi$ + ac(sin4$\displaystyle \varphi$ + cos4$\displaystyle \varphi$) - | |
| -2b(a - c)sin$\displaystyle \varphi$cos$\displaystyle \varphi$(sin2$\displaystyle \varphi$ - cos2$\displaystyle \varphi$) - 4b2sin2$\displaystyle \varphi$cos2$\displaystyle \varphi$ - | ||
| - (a + c)sin2$\displaystyle \varphi$cos2$\displaystyle \varphi$ + 2ac sin2$\displaystyle \varphi$cos2$\displaystyle \varphi$ - | ||
| -2b(a - c)sin$\displaystyle \varphi$cos$\displaystyle \varphi$(cos2$\displaystyle \varphi$ - sin2$\displaystyle \varphi$) - b2(cos2$\displaystyle \varphi$ - sin2$\displaystyle \varphi$)2 = | ||
| = ac - b2. |
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет