Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Окружности, вписанные в сегмент» для 9-11 класса - сложность 5 с решениями
параграф 8. Окружности, вписанные в сегмент
НазадЧетырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть<i>r</i><sub>a</sub>,<i>r</i><sub>b</sub>,<i>r</i><sub>c</sub>,<i>r</i><sub>d</sub>— радиусы вписанных окружностей треугольников<i>BCD</i>,<i>ACD</i>,<i>ABD</i>,<i>ABC</i>. Докажите, что<i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>c</sub>=<i>r</i><sub>b</sub>+<i>r</i><sub>d</sub>.
На стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>D</i>. Окружность<i>S</i><sub>1</sub>касается отрезков<i>BE</i>и<i>EA</i>и описанной окружности, окружность<i>S</i><sub>2</sub>касается отрезков<i>CE</i>и<i>EA</i>и описанной окружности. Пусть<i>I</i>,<i>I</i><sub>1</sub>,<i>I</i><sub>2</sub>и<i>r</i>,<i>r</i><sub>1</sub>,<i>r</i><sub>2</sub>-- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей<i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>;$\varphi$=$\angle$<i>ADB</i>. Докажите, что...
Треугольники <i>ABC</i><sub>1</sub>и <i>ABC</i><sub>2</sub>вписаны в окружность <i>S</i>, причем хорды <i>AC</i><sub>2</sub>и <i>BC</i><sub>1</sub>пересекаются. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается хорды <i>AC</i><sub>2</sub>в точке <i>M</i><sub>2</sub>, хорды <i>BC</i><sub>1</sub>в точке <i>N</i><sub>1</sub>и окружности <i>S</i>. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABC</i><sub>1</sub>и <i>ABC</i><sub>2</sub>лежат на отрезке <i>M</i><sub>2</sub><i>N&l...
Окружность, касающаяся сторон <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка <i>MN</i>совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.