Олимпиадные задачи из источника «параграф 11. Пучки окружностей» для 1-10 класса - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.

Докажите, что семейство всех окружностей, ортогональным окружностям данного пучка, образует пучок.

Докажите, что если окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям пучка.

Докажите, что гиперболический пучок содержит две предельные точки, параболический — одну, а эллиптический — ни одной.

Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух фиксированных точках (<i>эллиптический пучок</i>), либо касается радикальной оси в фиксированной точке (<i>параболический пучок</i>), либо не пересекает радикальную ось (<i>гиперболический пучок</i>).

Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i>²+<i>y</i>²+<i>a</i>₁<i>x</i>+<i>b</i>₁<i>y</i>+<i>c</i>₁и<i>g</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>x</i>²+<i>y</i>²+<i>a</i>₂<i>x</i>+<i>b</i>₂<i>y</i>+<i>c</i>₂. Докажите, что для любого вещественного$\lambda$$\ne$1 уравнение<i>f</i>-$\lambda$<i>g</i>= 0 задаёт окружность...

а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей. б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.