Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Системы точек» для 7-11 класса - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что для любого натурального <i>N</i>существует <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

На плоскости дано 22 точки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что их можно разбить на пары так, чтобы отрезки, заданные парами, пересекались по крайней мере в пяти точках.

На плоскости дано 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 1000 непересекающихся четырехугольников (возможно, невыпуклых) с вершинами в этих точках.

На плоскости дано<i>n</i>$\ge$3 точек. Пусть <i>d</i> — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более <i>n</i>пар точек, расстояние между которыми равно <i>d</i>.