Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Многоугольники с вершинами в узлах решетки» - сложность 2-4 с решениями

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

Можно ли прямоугольный треугольник с целыми сторонами расположить так, чтобы его вершины лежали в узлах целочисленной решетки, но ни одна из его сторон не проходила по линиям решетки?

Докажите, что при<i>n</i> ≠ 4 правильный<i>n</i>-угольник нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.

Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?