Задача
Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.
Решение
Докажем, что каждая из этих сумм равна площади многоугольника. Горизонтальные линии решётки разрезают многоугольник на два треугольника с основаниямиa1иanиn- 1 трапеций с основаниямиa1иa2,a2иa3, ...,an - 1иan. Высоты этих треугольников и трапеций равны 1, поэтому сумма их площадей равна
$\displaystyle {\frac{a_1}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1+a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_2+a_3}{2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_{n-1}+a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_n}{2}}$ = a1 + a2 + ... + an.
Для вертикальных линий доказательство аналогично.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет