Олимпиадные задачи из источника «глава 23. Делимость, инварианты, раскраски» для 9-10 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что если вершины выпуклого <i>n</i>-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то  <i>n</i> ≤ 4.

На клетчатой бумаге даны произвольные <i>n</i>клеток. Докажите, что из них можно выбрать не менее<i>n</i>/4 клеток, не имеющих общих точек.

Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.

Может ли при этом на доске остаться ровно одна чёрная клетка?

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.

Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.