Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Изопериметрическое неравенство» - сложность 1-4 с решениями

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры$\Phi$делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.

Докажите, что если существует фигура$\Phi{^\prime}$, площадь которой не меньше площади фигуры$\Phi$, а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и$\Phi$, но большей площади.

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры$\Psi$существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.