Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Метод усреднения» - сложность 2-4 с решениями
параграф 6. Метод усреднения
НазадДокажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше <i>d</i>, то его периметр меньше$\pi$<i>d</i>.
Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна <i>L</i>. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше<i>L</i>/$\pi$.
Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего.
Даны два набора векторов<b>a</b><sub>1</sub>,...,<b>a</b><sub>n</sub>и <b>b</b><sub>1</sub>,...,<b>b</b><sub>m</sub>, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.