Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Неравенства» для 4-10 класса - сложность 3-4 с решениями
параграф 3. Неравенства
НазадНа окружности радиуса 1 с центром <i>O</i>дано 2<i>n</i>+ 1 точек<i>P</i><sub>1</sub>,...,<i>P</i><sub>2n + 1</sub>, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что|$\overrightarrow{OP}{1}^{}$+...+$\overrightarrow{OP}{2n+1}^{}$|$\ge$1.
Дано восемь вещественных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>,<i>e</i>,<i>f</i>,<i>g</i>,<i>h</i>. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел<i>ac</i>+<i>bd</i>,<i>ae</i>+<i>bf</i>,<i>ag</i>+<i>bh</i>,<i>ce</i>+<i>df</i>,<i>cg</i>+<i>dh</i>,<i>eg</i>+<i>fh</i>неотрицательно.
Точки<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>лежат на окружности с центром <i>O</i>, причем$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Докажите, что для любой точки <i>X</i>справедливо неравенство<i>XA</i><sub>1</sub>+...+<i>XA</i><sub>n</sub>$\ge$<i>nR</i>, где <i>R</i> — радиус окружности.
Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.