Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Векторы сторон многоугольников» для 4-9 класса

В выпуклом пятиугольнике<i>ABCDE</i>сторона<i>BC</i>параллельна диагонали<i>AD</i>,<i>CD</i>||<i>BE</i>,<i>DE</i>||<i>AC</i>и <i>AE</i>||<i>BD</i>. Докажите, что<i>AB</i>||<i>CE</i>.

Даны четыре попарно непараллельных вектора <b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>и <b>d</b>, сумма которых равна нулю. Докажите, что<div align="CENTER"> |<b>a</b>| + |<b>b</b>| + |<b>c</b>| + |<b>d</b>| > |<b>a</b> + <b>b</b>| + |<b>a</b> + <b>c</b>| + |<b>a</b> + <b>d</b>|. </div>

Даны четыре попарно непараллельных вектора, сумма которых равна нулю. Докажите, что из них можно составить: а) невыпуклый четырехугольник; б) самопересекающуюся четырехзвенную ломаную.

Дано <i>n</i>попарно не сонаправленных векторов (<i>n</i>$\ge$3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый<i>n</i>-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.

Пусть <i>E</i>и <i>F</i> — середины сторон<i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника<i>ABCD</i>,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины отрезков<i>AF</i>,<i>CE</i>,<i>BF</i>и <i>DE</i>. Докажите, что<i>KLMN</i> — параллелограмм.

Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их можно разбить на две пары противоположных векторов.

Из точки, лежащей внутри выпуклого<i>n</i>-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы<b>a</b>₁,...,<b>a</b>_n, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что<b>a</b>₁+...+<b>a</b>_n= 0.

<i>M</i>₁,<i>M</i>₂,...,<i>M</i>₆ — середины сторон выпуклого шестиугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₆. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам<i>M</i>₁<i>M</i>₂,<i>M</i>₃<i>M</i>₄,<i>M</i>₅<i>M</i>₆.

Стороны треугольника <i>T</i>параллельны медианам треугольника <i>T</i>₁. Докажите, что медианы треугольника <i>T</i>параллельны сторонам треугольника <i>T</i>₁.

а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник. б) Из медиан треугольника<i>ABC</i>составлен треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, а из медиан треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁составлен треугольник<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂. Докажите, что треугольники<i>ABC</i>и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂подобны, причем коэффициент подобия...