Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Разные задачи» для 1-11 класса - сложность 3 с решениями
параграф 9. Разные задачи
НазадДокажите, что сумма котангенсов углов треугольника <i>ABC</i>равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника <i>ABC</i>.
Продолжения биссектрис треугольника <i>ABC</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>S</i><sub>ABC</sub>/<i>S</i><sub>A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub></sub>= 2<i>r</i>/<i>R</i>, где <i>r</i>и <i>R</i> — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.
Докажите, что если <i>ctg</i>($\alpha$/2) = (<i>b</i>+<i>c</i>)/<i>a</i>, то треугольник прямоугольный.
Найдите высоту трапеции, у которой основания равны <i>a</i> и <i>b</i> (<i>a</i> < <i>b</i>), угол между диагоналями равен <!-- MATH $90^{\circ}$ --> 90<sup><tt>o</tt></sup>, а угол между продолжениями боковых сторон равен <!-- MATH $45^{\circ}$ --> 45<sup><tt>o</tt></sup>.