Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Теорема косинусов» - сложность 3-5 с решениями

Окружности радиусов<i>t</i>_a,<i>t</i>_b,<i>t</i>_cкасаются внутренним образом описанной окружности треугольника<i>ABC</i>в его вершинах<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>t</i>_a = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$,    <i>t</i>_b = $\displaystyle {\frac{Rh_b}{b+h_b}}$,    <i>t</i>_c = $\displaystyle {\frac{Rh_c}{c+h_c}}$. </div>

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности (неправильного) треугольника <i>ABC</i>, <i>M</i> — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая <i>OM</i>перпендикулярна медиане <i>CC</i>₁тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²= 2<i>c</i>².