Задача
В остроугольном треугольнике ABCпроведены высоты AA1и CC1. Точки A2и C2симметричны A1и C1относительно середин сторон BCи AB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину Bс центром Oописанной окружности, делит отрезок A2C2пополам.
Решение
Пусть $AC = b$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle BCA = \gamma$. Тогда в треугольнике $A_2BC_2$ длины сторон $A_2B$ и $BC_2$ равны $b \cos \gamma$ и $b \cos \alpha$; прямая $BO$ делит угол $A_2BC_2$ на углы $90^{\circ}-\gamma$ и $90^{\circ}-\alpha$. Пусть прямая $BO$ пересекает отрезок $A_2C_2$ в точке $M$. По теореме синусов $$A_2M= \frac{A_2B \sin A_2BM}{\sin A_2MB}=\frac{b\cos\gamma \cos\alpha}{\sin C_2MB}=\frac{С_2B \sin С_2BM}{\sin С_2MB}=C_2M.$$
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь