Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Теорема синусов» - сложность 2 с решениями

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>CC</i>₁. Точки <i>A</i>₂и <i>C</i>₂симметричны <i>A</i>₁и <i>C</i>₁относительно середин сторон <i>BC</i>и <i>AB</i>. Докажите, что прямая, соединяющая вершину <i>B</i>с центром <i>O</i>описанной окружности, делит отрезок <i>A</i>₂<i>C</i>₂пополам.

Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right.$$\displaystyle {\frac{a+b}{c}}$ = cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right/$sin$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$,    и    $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-b}{c}}$ = sin$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right/$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$. </div>