Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Против большей стороны лежит больший угол» - сложность 1-4 с решениями

Докажите, что выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i>с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i>$\geq$$\angle$<i>B</i>$\geq$$\angle$<i>C</i>$\geq$$\angle$<i>D</i>$\geq$$\angle$<i>E</i>, является правильным.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>наибольшая из высот <i>AH</i>равна медиане <i>BM</i>. Докажите, что $\angle$<i>B</i>$\leq$60^<tt>o</tt>.

Пусть <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ — два выпуклых четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $\angle$<i>A</i>>$\angle$<i>A</i>₁, то $\angle$<i>B</i><$\angle$<i>B</i>₁,$\angle$<i>C</i>>$\angle$<i>C</i>₁,$\angle$<i>D</i><$\angle$<i>D</i>₁.

Докажите, что в треугольнике угол <i>A</i>острый тогда и только тогда, когда <i>m</i>_a><i>a</i>/2.

Докажите, что $\angle$<i>ABC</i><$\angle$<i>BAC</i>тогда и только тогда, когда <i>AC</i><<i>BC</i>, т. е. против большего угла треугольника лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.