Олимпиадные задачи из источника «параграф 13. Неравенства в треугольниках» для 5-9 класса - сложность 1-2 с решениями
параграф 13. Неравенства в треугольниках
НазадЧерез вершину <i>A</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>проведена окружность, касающаяся стороны <i>BC</i>в точке <i>M</i>и пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>AN</i>><i>CM</i>.
Медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны. Докажите, что <i>ctgA</i>+<i>ctgB</i>$\geq$2/3.
В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>c</i>наибольшая, а <i>a</i>наименьшая. Докажите, что <i>l</i><sub>c</sub>$\leq$<i>h</i><sub>a</sub>.
Докажите, что если треугольник <i>ABC</i>лежит внутри треугольника <i>A'B'C'</i>, то <i>r</i><sub>ABC</sub><<i>r</i><sub>A'B'C'</sub>.
Через точку <i>O</i>пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая его стороны в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>NO</i>$\leq$2<i>MO</i>.