Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Отношение площадей подобных треугольников» - сложность 2 с решениями

Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади <i>S</i>, отражается симметрично относительно середин его сторон.

Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.

а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, равна половине площади <i>ABCD</i>. б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади<i>S</i>, равна 3<i>S</i>/4.

Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями <i>S</i>₁, <i>S</i>₂, <i>S</i>₃. Найдите площадь <i>S</i> данного треугольника.